首页 > 数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）设bn=1n•2n+1an，求数列{bn}的前

数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）设bn=1n•2n+1an，求数列{bn}的前

题目简介

数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）设bn=1n•2n+1an，求数列{bn}的前

题目详情

数列{an}满足a1=1，an+1=
2n+1an
an+2n
（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{
2n
an
}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅲ）设bn=
1
n•2n+1
an，求数列{bn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由已知可知
an+1
2n+1
=
an
an+2n
，即
2n+1
an+1
=
2n
an
+1，即
2n+1
an+1
-
2n
an
=1
∴数列{
2n
an
}是公差为1的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
2n
an
=class="stub"2
a1
+(n-1)×1=2+(n-1)×1=n+1，∴an=
2n
n+1
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=class="stub"1
n•2n+1
an=class="stub"1
n•2n+1
×
2n
n+1

∴bn=class="stub"1
2n(n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)
∴Sn=b1+b2+…+bn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2
)+class="stub"1
2
(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+class="stub"1
2
(class="stub"1
n
class="stub"1
n+1
)=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)]=class="stub"n
2(n+1)
．

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