已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，tSn-（2t+1）Sn-1=t，其中t＞0，n∈N﹡，n≥2．（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）设数列{an}的公比为f（t）数列{bn}满

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，tS_n-（2t+1）S_n-1=t，其中t＞0，n∈N﹡，n≥2．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t）数列{b_n}满足b₁=1，b_n=f（

bn-1

）（n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若t=1，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较a_n和T_n的大小关系．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）当n≥2时，tSn-（2t+1）Sn-1=t ①
tSn+1-（2t+1）Sn=t ②
②-①得：tan+1-（2t+1）an=0，
∵t＞0∴an+1=class="stub"2t+1

an，
又当n=2时，由a1=1，t（a2+a1）-（2t+1）a1=t，得a2=class="stub"2t+1

由于an≠0，class="stub"2t+1

≠0，所以对n∈N*总有

an+1

=class="stub"2t+1

，
即数列{an}是首项为1，公比为class="stub"2t+1

的等比数列．（8分）
（Ⅱ）由（1）知f（t）=class="stub"2t+1

，则bn=f（class="stub"1

bn-1

）=2+bn-1，
又b1=1，所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
故bn=2n-1，n∈N* （12分）
（Ⅲ）由Ⅱ知，Tn=n+

n(n-1)

×2=n2．
若t=1，则等比数列{an}是首项为1，公比为3，所以an=3n-1，
则Tn-an=n2-3n-1，
当n=1时，Tn-an=n2-3n-1=1-1=0，此时Tn=an．
当n=2时，Tn-an=n2-3n-1=22-3=1＞0，此时Tn＞an．
当n=3时，Tn-an=n2-3n-1=32-32=0，此时Tn=an．
当n=4时，Tn-an=n2-3n-1=42-33=-11＜0，此时Tn＜an．
当n＞4时，Tn-an=n2-3n-1＜0，此时恒有Tn＜an．
综上当n=1或3时，Tn=an，当n=2时，Tn＞an，当n≥4时，Tn＜an．

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已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，tSn-（2t+1）Sn-1=t，其中t＞0，n∈N﹡，n≥2．（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）设数列{an}的公比为f（t）数列{bn}满

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