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> 设数列{bn}的n项和为Sn,且bn=1-2Sn;数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20,.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若cn=an•bn,n=1,2,3,…,Tn为数列{cn}的
设数列{bn}的n项和为Sn,且bn=1-2Sn;数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20,.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若cn=an•bn,n=1,2,3,…,Tn为数列{cn}的
题目简介
设数列{bn}的n项和为Sn,且bn=1-2Sn;数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20,.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若cn=an•bn,n=1,2,3,…,Tn为数列{cn}的
题目详情
设数列{b
n
}的n项和为S
n
,且b
n
=1-2S
n
;数列{a
n
}为等差数列,且a
5
=14,a
7
=20,.
(1)求数列{b
n
}的通项公式;
(2)若c
n
=a
n
•b
n
,n=1,2,3,…,T
n
为数列{c
n
}的前n项和.求证:T
n
<
7
4
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)由bn=1-2Sn,令n=1,则b1=1-2S1,又S1=b1
所以b1=
class="stub"1
3
…(2分)
当n≥2时,由bn=2-2Sn,可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn
即
b
n
b
n-1
=
class="stub"1
3
…(4分)
所以{bn}是以b1=
class="stub"1
3
为首项,
class="stub"1
3
为公比的等比数列,
于是bn=
class="stub"1
3
n
…(6分)
(2)数列{an}为等差数列,公差d=
class="stub"1
2
(a7-a5)=3,可得an=3n-1…(7分)
从而cn=an•bn=(3n-1)•
class="stub"1
3
n
,
∴Tn=2•
class="stub"1
3
+5•
class="stub"1
3
2
+8•
class="stub"1
3
3
+…+(3n-1)•
class="stub"1
3
n
,
class="stub"1
3
Tn=2•
class="stub"1
3
2
+5•
class="stub"1
3
3
+…+(3n-4)•
class="stub"1
3
n
+(3n-1)•
class="stub"1
3
n+1
∴
class="stub"2
3
Tn=2•
class="stub"1
3
+3•+3•
class="stub"1
3
2
+…+3•
class="stub"1
3
n
-
class="stub"1
3
-(3n-1)•
class="stub"1
3
n+1
=
class="stub"7
6
-
class="stub"6n+7
2•
3
n+1
…(11分)
∴Tn=
class="stub"7
4
-
class="stub"6n+7
4•
3
n
<
class="stub"7
4
.…(12分)
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已知等差数列{an}的前n项和为S
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记等差数列{an}的前n项和为Sn,
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即
所以{bn}是以b1=
于是bn=
(2)数列{an}为等差数列,公差d=
从而cn=an•bn=(3n-1)•
∴Tn=2•
∴
∴Tn=