首页 > 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；（Ⅲ）求数列{nan}的前n项和Tn．-数学

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；（Ⅲ）求数列{nan}的前n项和Tn．-数学

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；（Ⅲ）求数列{nan}的前n项和Tn．-数学

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；
（Ⅲ）求数列{nan}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列，
∴（an+1+Sn+1）-（an+Sn）=2，即an+1=
an+2
2
，（3分）
∵a1=1，∴a2=class="stub"3
2
， a3=class="stub"7
4
；（5分）
（Ⅱ）证明：由题意，得a1-2=-1，∵
an+1-2
an-2
=
an+2
2
-2
an-2
=class="stub"1
2
，
∴{an-2}是首项为-1，公比为class="stub"1
2
的等比数列；（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得an-2=-(class="stub"1
2
)n-1，∴nan=2n-n•(class="stub"1
2
)n-1，（10分）
∴Tn=(2-1)+(4-2•class="stub"1
2
)+[6-3•(class="stub"1
2
)2]++[2n-n•(class="stub"1
2
)n-1]，
∴Tn=(2+4+6++2n)-[1+2•class="stub"1
2
+3•(class="stub"1
2
)2++n•(class="stub"1
2
)n-1]，
设An=1+2•class="stub"1
2
+3•(class="stub"1
2
)2++n•(class="stub"1
2
)n-1①
∴class="stub"1
2
An=class="stub"1
2
+2•(class="stub"1
2
)2+3•(class="stub"1
2
)3++n•(class="stub"1
2
)n，②
由①-②，得class="stub"1
2
An=1+class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2++(class="stub"1
2
)n-1-n•(class="stub"1
2
)n，
∴class="stub"1
2
An=
1-(class="stub"1
2
)n
1-class="stub"1
2
-n•(class="stub"1
2
)n，∴An=4-(n+2)•(class="stub"1
2
)n-1，
∴Tn=
n(2+2n)
2
+(n+2)•(class="stub"1
2
)n-1-4=(n+2)•(class="stub"1
2
)n-1+n(n+1)-4．（14分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网