已知两定点A（-2，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=2|PB|．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）求yx+2的取值范围；（3）设点S在过点A且垂直于x轴的直线l上运动，作SM，SN

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已知两定点A（-2，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=2|PB|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）求

x+2

的取值范围；
（3）设点S在过点A且垂直于x轴的直线l上运动，作SM，SN与轨迹C相切（M，N为切点）．
①求证：M，B，N三点共线；
②求

•

的最小值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，设P点的坐标为（x，y），
则（x+2）2+y2=4[（x-1）2+y2]，即（x-2）2+y2=4，
所以点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，
（2）class="stub"y

x+2

=class="stub"y-0

x+2

表示P（x，y）与定点（-2，0）所连直线的斜率
而点P（x，y）在圆（x-2）2+y2=4，上运动，
设class="stub"y

x+2

=k即y=k（x+2），即kx-y+2k=0，圆心（2，0）到此直线的距离为：
d=

|2k+2k|

k2+1

，令d=2得

|2k+2k|

k2+1

=2⇒k=±

，
结合图形易求得class="stub"y

x+2

的取值范围为[-

，

]．
（3）①如图，由题意知直线MN可看成是以SC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线，
设S（-2，t），C（2，0），则以SC为直径的圆的方程为：
x2+（y-class="stub"t

）2=22+（0-class="stub"t

）2即x2+y2-ty-4=0，又（x-2）2+y2=4
两者作差，得：4x-ty-4=0，此方程即为直线MN的方程，
令y=0得x=1，即直线MN过点B（1，0），
从而M，B，N三点共线；
②

•

|•|

|cos2∠MSC
=|

| 2•(1-2sin 2∠MSC)
=(SC2-MC2) (1-2×

MC 2

SC 2

)
设SC=m，由于MC=2，且m≥4，
∴

•

=m2+class="stub"32

-12，此函数在m≥4时是单调增函数，
当且仅当m=4时，它取得最小值，最小值为：m2+class="stub"32

-12=42+class="stub"32

-12=6．
故

•

的最小值6．

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已知两定点A（-2，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=2|PB|．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）求yx+2的取值范围；（3）设点S在过点A且垂直于x轴的直线l上运动，作SM，SN

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