已知函数f(x)=2cosx•sin(x+π3)-3sin2x+sinx•cosx.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象按向量a=(m,0)平移,使得平移之后的图象关于直线x

题目简介

已知函数f(x)=2cosx•sin(x+π3)-3sin2x+sinx•cosx.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象按向量a=(m,0)平移,使得平移之后的图象关于直线x

题目详情

已知函数f(x)=2cosx•sin(x+
π
3
)-
3
sin2x+sinx•cosx

(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象按向量
a
=(m,0)
平移,使得平移之后的图象关于直线x=
π
2
对称,求m的最小正值.
题型:解答题难度:中档来源:湖北模拟

答案

(1)f(x)=2cosx•(class="stub"1
2
sinx+
3
2
cosx)-
3
sin2x+sinxcosx
=sinxcosx+
3
cos2x-
3
sin2
x+sincosx
=sin2x+
3
cos2x(3分)
=2sin(2x+class="stub"π
3
),(4分)
class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"3
2
π,k∈Z,得kπ+class="stub"π
12
≤x≤kπ+class="stub"7
12
π,k∈Z(6分)
故函数f(x)的单调递减区间为[kπ+class="stub"π
12
,kπ+class="stub"7π
12
],k∈Z;(7分)
(2)由(1)得到函数y=2sin(2x+class="stub"π
3
),
此函数按向量
a
=(m,0)
平移得到解析式为y=2sin(2x+class="stub"π
3
-2m),(8分)
∵y=2sin(2x+class="stub"π
3
-2m)的图象关于直线x=class="stub"π
2
关于直线x=class="stub"π
2
对称,
∴2•class="stub"π
2
+class="stub"π
3
-2m=kπ+class="stub"π
2
(k∈Z)
∴m=-class="stub"1
2
(k-1)π-class="stub"π
12
(k∈Z)(10分)
当k=0时,m的最小正值为class="stub"5
12
π.(12分)

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