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> 已知数列{an}满足：2a1+2a2+…+2an-1+2an=2n+1-2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn．若存在实数λ，使得λ≥
已知数列{an}满足：2a1+2a2+…+2an-1+2an=2n+1-2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn．若存在实数λ，使得λ≥
题目简介
已知数列{an}满足：2a1+2a2+…+2an-1+2an=2n+1-2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn．若存在实数λ，使得λ≥
题目详情
已知数列{a
n
}满足：
2
a
1
+
2
a
2
+…+
2
a
n-1
+
2
a
n
=
2
n+1
-2，n∈
N
*
．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设
b
n
=
2
a
n
a
n+1
，数列{b
n
}的前n项和为T
n
．若存在实数λ，使得λ≥T
n
，试求出实数λ的最小值．
题型：解答题
难度：中档
来源：枣庄二模
答案
（1）当n≥2时，∵
2
a
1
+
2
a
2
+…+
2
a
n-1
+
2
a
n
=2n+1-2
2
a
1
+
2
a
2
+…+
2
a
n-1
=2n-2，
∴
2
a
n
=(
2
n+1
-2)-(
2
n
-2)
，即
2
a
n
=
2
n
．
当n=1时，
2
a
1
=
2
2
-2
，解得a1=1，也符合上式．
∴数列{an}的通项公式为an=n；
（2）由（1）可知：
b
n
=
class="stub"2
a
n
a
n+1
=
class="stub"2
n(n+1)
=2(
class="stub"1
n
-
class="stub"1
n+1
)
，
∴Tn=
2[(1-
class="stub"1
2
)+(
class="stub"1
2
-
class="stub"1
3
)+…+(
class="stub"1
n
-
class="stub"1
n+1
)]
=
2(1-
class="stub"1
n+1
)
．
∵
T
n+1
-
T
n
=2(1-
class="stub"1
n+2
)-2(1-
class="stub"1
n+1
)
=
class="stub"2
(n+1)(n+2)
＞0
，
∴Tn+1＞Tn．数列{Tn}是单调递增数列，
∴{T1}的最小值为T1=1．
由题意，λ≥数列{Tn}的最小值=1，
∴实数λ的最小值为1．
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∴Tn+1＞Tn．数列{Tn}是单调递增数列，
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由题意，λ≥数列{Tn}的最小值=1，
∴实数λ的最小值为1．