首页 > 已知过原点O作函数f（x）=ex（x2-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＜x2＜x3．（Ⅰ）求实数a的取值范围．（Ⅱ）求证：x1＜-3．-数学

已知过原点O作函数f（x）=ex（x2-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＜x2＜x3．（Ⅰ）求实数a的取值范围．（Ⅱ）求证：x1＜-3．-数学

题目简介

已知过原点O作函数f（x）=ex（x2-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＜x2＜x3．（Ⅰ）求实数a的取值范围．（Ⅱ）求证：x1＜-3．-数学

题目详情

已知过原点O作函数f（x）=ex（x2-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＜x2＜x3．
（Ⅰ）求实数a的取值范围．
（Ⅱ）求证：x1＜-3．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）f′（x）=ex（x2+x+a-1），
设切点为（x0，y0），则切线方程为：y-ex0（x02-x0+a）=ex0（x02+x0+a-1）（x-x0），
代入（0，0）得x03+ax0-a=0，
由题意知满足条件的切线恰有三条，
则方程x3+ax-a=0有三个不同的解．（2分）
令g（x）=x3+ax-a，g′（x）=3x2+a．
当a≥0时，g′（x）≥0，g（x）是（-∞，+∞）上增函数，则方程x3+ax-a=0有唯一解．（3分）
当a＜0时，由g′（x）=0得x=±
-class="stub"a
3
，g（x）在(-∞，-
-class="stub"a
3
)和(
-class="stub"a
3
，+∞)上是增函数，
在(-
-class="stub"a
3
，
-class="stub"a
3
)上是减函数
要使方程x3+ax-a=0有三个不同的根，
只需
g(-
-class="stub"a
3
)＞0
g(
-class="stub"a
3
)＜0.
(-
-class="stub"a
3
)3-a(
-class="stub"a
3
)-a＞0
(
-class="stub"a
3
)3+a
-class="stub"a
3
-a＜0.
（5分）
解得a＜-class="stub"27
4
．（6分）
（Ⅱ）∵g（x）=x3+ax-a，x→∞g(x)→∞g(-
-class="stub"a
3
)＞0，
由函数连续性知-∞＜x1＜-
-class="stub"a
3
，（8分）
∵a＜-class="stub"27
4
，∴g（-3）=-27-4a＞0，（10分）
且-3＜-
class="stub"-a
3
，∴x1＜-3．（12分）

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