首页 > △ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：（1）（a+b+c）（a+b-c）=3ab（2）sinA=2cosBsinC（3）b=acosC，c=a

△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：（1）（a+b+c）（a+b-c）=3ab（2）sinA=2cosBsinC（3）b=acosC，c=a

题目简介

△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：（1）（a+b+c）（a+b-c）=3ab（2）sinA=2cosBsinC（3）b=acosC，c=a

题目详情

△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：
（1）（a+b+c）（a+b-c）=3ab
（2）sinA=2cosBsinC
（3）b=acosC，c=acosB
（4）2R(sin2A-sin2C)=(
2
a-b)sinB
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题______．
题型：填空题难度：偏易来源：不详

答案

由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：
证明：由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，变形得：
a2+b2+2ab-c2=3ab，即a2+b2-c2=ab，
则cosC=
a2+b2-c2
2ab
=class="stub"1
2
，又C为三角形的内角，
∴C=60°，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
则A=B=C=60°，
∴△ABC是等边三角形；
以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：化简得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
∴b=c，
由正弦定理class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
=2R得：
sinA=class="stub"a
2R
，sinB=class="stub"b
2R
，sinC=class="stub"c
2R
，
代入2R(sin2A-sin2C)=(
2
a-b)sinB得：
2R•（
a2
4R2
-
c2
4R2
）=（
2
a-b）•class="stub"b
2R
，
整理得：a2-b2=
2
ab-b2，即a2=
2
ab，
∴a=
2
b，
∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，
∴a2=b2+c2，
∴∠A=90°，
则三角形为等腰直角三角形；
以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：由正弦定理class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
=2R得：
sinA=class="stub"a
2R
，sinB=class="stub"b
2R
，sinC=class="stub"c
2R
，
代入2R(sin2A-sin2C)=(
2
a-b)sinB得：
2R•（
a2
4R2
-
c2
4R2
）=（
2
a-b）•class="stub"b
2R
，
整理得：a2-b2=
2
ab-b2，即a2=
2
ab，
∴a=
2
b，
∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，
∴a2=b2+c2，
∴∠A=90°，
又b=acosC，c=acosB，
根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，
∴class="stub"sinB
cosC
=class="stub"sinC
cosB
，即sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角，
∴2B=2C，即B=C，
则三角形为等腰直角三角形．
故答案为：（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙

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