已知△ABC的面积为22,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=4,0<C<90°.(1)求sin(A+B)的值;(2)求cos(2C+π4)的值;(3)求向量CB,AC的数量积CB•

题目简介

已知△ABC的面积为22,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=4,0<C<90°.(1)求sin(A+B)的值;(2)求cos(2C+π4)的值;(3)求向量CB,AC的数量积CB•

题目详情

已知△ABC的面积为2
2
,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=4,0<C<90°.
(1)求sin(A+B)的值;   
(2)求cos(2C+
π
4
)
的值;
(3)求向量
CB
AC
的数量积
CB
AC
题型:解答题难度:中档来源:肇庆一模

答案

(1)由class="stub"1
2
absinC=2
2
,即class="stub"1
2
×3×4sinC=2
2
,得sinC=
2
3
.(2分)
∵A+B=180°-C,
∴sin(A+B)=sin(180°-C)=sinC=
2
3
(4分)
(2)由(1)得sinC=
2
3
,∵0<C<90°,
∴cosC=
1-sin2C
=
1-(
2
3
)
2
=
7
3
(5分)
∴cos2C=2cos2C-1=2×(
7
3
)
2
-1=class="stub"5
9
.(6分)
∴sin2C=2sinCcosC
=2×
2
3
×
7
3

=
2
14
9
(7分)
∴cos(2C+class="stub"π
4
)=cos2Ccosclass="stub"π
4
-sin2Csinclass="stub"π
4

=class="stub"5
9
×
2
2
-
2
14
9
×
2
2

=-
5
2
-4
7
18
.(9分)
(3)∵|
CB
|=a=3,|
AC
|
=b=4,(10分)
设向量
CB
CA
所成的角为θ,则θ=180°-C(11分)
CB
AC
=|
CB
|
|
AC
|
cosθ
=abcos(180°-C)
=-abcosC
=-3×4×
7
3

=-4
7
(12分)

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