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已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜π2），且f（5π6）=-A．（I）求φ的值；（Ⅱ）若f（α）=35A，f（β+π12）=513A且π6＜α＜π3，0＜β＜π4，求cos（2α

题目简介

已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜π2），且f（5π6）=-A．（I）求φ的值；（Ⅱ）若f（α）=35A，f（β+π12）=513A且π6＜α＜π3，0＜β＜π4，求cos（2α

题目详情

已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜
π
2
），且f（
5π
6
）=-A．
（I）求φ的值；
（Ⅱ）若f（α）=
3
5
A，f（β+
π
12
）=
5
13
A且
π
6
＜α＜
π
3
，0＜β＜
π
4
，求cos（2α+2β-
π
6
）的值．
题型：解答题难度：中档来源：成都二模

答案

（I）由题意，得f（class="stub"5π
6
）=-A⇒Asin（2×class="stub"5π
6
+φ）=-A，
∴sin（class="stub"5π
3
+φ）=-1，
∴class="stub"5π
3
+φ=2kπ+class="stub"3π
2
，k∈Z
∵|φ|＜class="stub"π
2
，
∴φ=-class="stub"π
6
．
（Ⅱ）由（I）可知，函数f（x）=Asin（2x-class="stub"π
6
），
∵f（α）=class="stub"3
5
A∴Asin（2α-class="stub"π
6
）=class="stub"3
5
A，
∴sin（2α-class="stub"π
6
）=class="stub"3
5
，
又class="stub"π
6
＜α＜class="stub"π
3
，
∴class="stub"π
6
＜2α-class="stub"π
6
＜class="stub"π
3
，
∴cos（2α-class="stub"π
6
）=class="stub"4
5
，
又f（β+class="stub"π
12
）=class="stub"5
13
A，
∴Asin（2β+class="stub"π
6
-class="stub"π
6
）=class="stub"5
13
A，
∴sin2β=class="stub"12
13
，
∵0＜β＜class="stub"π
4
，
∴0＜2β＜class="stub"π
2
，
∴cos2β=class="stub"12
13
，
∴cos（2α+2β-class="stub"π
6
）=cos（2α-class="stub"π
6
）cos2β-sin（2α-class="stub"π
6
）sin2β
=class="stub"4
5
×class="stub"12
13
-class="stub"3
5
×class="stub"5
13

=class="stub"33
65
．

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