首页 > 已知向量a=(cos4x-sin4x，2sinx)，b=(-1，3cosx)，设函数f(x)=a•b，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）在[0，π2]上的最小值及取得

已知向量a=(cos4x-sin4x，2sinx)，b=(-1，3cosx)，设函数f(x)=a•b，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）在[0，π2]上的最小值及取得

题目简介

已知向量a=(cos4x-sin4x，2sinx)，b=(-1，3cosx)，设函数f(x)=a•b，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）在[0，π2]上的最小值及取得

题目详情

已知向量
a
=(cos4x-sin4x，2sinx)，
b
=(-1，
3
cosx)，设函数f(x)=
a
•
b
 ， x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求f（x）在[0，
π
2
]上的最小值及取得最小值时的x值．
题型：解答题难度：中档来源：攀枝花三模

答案

（Ⅰ）由f(x)=
a
•
b
=sin4x-cos4x+2
3
sinx•cosx
f(x)=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+
3
sin2x
=
3
sin2x-cos2x=2sin(2x-class="stub"π
6
)
∴T=class="stub"2π
|ω|
=π
设2kπ+class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"3
2
π，(k∈Z)
则kπ+class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"5
6
π，(k∈Z)
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+class="stub"π
3
，kπ+class="stub"5
6
π](k∈Z)
（Ⅱ）∵x∈[0，class="stub"π
2
]
∴2x-class="stub"π
6
∈[-class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
]
从而f(x)=2sin(2x-class="stub"π
6
)∈[-1，2]
∴f（x）在[0，class="stub"π
2
]上的最小值为-1，此时x=0．

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