设函数f(x)=sinx+cos(x+π6),x∈R(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;(Ⅱ)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=32,且a=32b,求角C的值.-数学

题目简介

设函数f(x)=sinx+cos(x+π6),x∈R(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;(Ⅱ)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=32,且a=32b,求角C的值.-数学

题目详情

设函数f(x)=sinx+cos(x+
π
6
),x∈R
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=
3
2
,且a=
3
2
b
,求角C的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)函数f(x)=sinx+cos(x+class="stub"π
6
)=sinx+
3
2
cosx-class="stub"1
2
sinx=sin(x+class="stub"π
3
),
故函数的最小正周期等于 class="stub"2π
1
=2π,当x=2kπ+class="stub"π
2
,k∈z时,函数有最大值为1,
当x=2kπ-class="stub"π
2
,k∈z时,函数有最小值等于-1.
故函数f(x)的值域为[1,1].
(Ⅱ)由f(A)=
3
2
可得 sin(A+class="stub"π
3
)=
3
2
.再由△ABC的内角为A,∴A+class="stub"π
3
=class="stub"2π
3
,A=class="stub"π
3

又a=
3
2
b
,由正弦定理可得
3
2
b
sinA
=class="stub"b
sinB
,∴sinB=1,∴B=class="stub"π
2

再由三角形内角和定理可得C=π-A-B=class="stub"π
6

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