已知数列{an}满足Sn=n2an(n∈N*),其中Sn是{an}的前n项和,且a1=1,求(1)求an的表达式;(2)求Sn.-高二数学

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已知数列{an}满足Sn=n2an(n∈N*),其中Sn是{an}的前n项和,且a1=1,求(1)求an的表达式;(2)求Sn.-高二数学

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已知数列{an}满足Sn=n2an(n∈N*),其中Sn是{an}的前n项和,且a1=1,求
(1)求an的表达式;
(2)求Sn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由Sn=n2an(n∈N*),得Sn-1=(n-1)2an-1(n≥2),
两式相减,得an=n2an-(n-1)2an-1,整理得
an
an-1
=class="stub"n-1
n+1
(n≥2),
∴n≥2时,an=a1×
a2
a1
×
a3
a2
×…×
an
an-1
=1×class="stub"1
3
×class="stub"2
4
×class="stub"3
5
×…×class="stub"n-1
n+1
=class="stub"2
n(n+1)

又a1=1适合上式,
an=class="stub"2
n(n+1)

(2)由(1)知,an=class="stub"2
n(n+1)
=2(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
),
∴Sn=2(1-class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)=2(1-class="stub"1
n+1
)=class="stub"2n
n+1

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