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已知α∈[0，π4]，β∈[0，π4]且sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，4tanα2=1-tan2α2，求α+β的值．-数学

题目简介

已知α∈[0，π4]，β∈[0，π4]且sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，4tanα2=1-tan2α2，求α+β的值．-数学

题目详情

已知α∈[0，
π
4
]，β∈[0，
π
4
]且sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，4tan
α
2
=1-tan2
α
2
，求α+β的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

∵sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，即tan（α+β）=2tanα，
∵4tanclass="stub"α
2
=1-tan2class="stub"α
2
，
∴
2tanclass="stub"α
2
1-tan2class="stub"α
2
=class="stub"1
2
，即tanα=class="stub"1
2
，
∴tan（α+β）=2tanα=1，
∵α∈[0，class="stub"π
4
]，β∈[0，class="stub"π
4
]，
∴α+β∈[0，class="stub"π
2
]，
则α+β=class="stub"π
4
．

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