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已知tan(π4+α)=12．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求sin2α-cos2α1+cos2α的值．-数学

题目简介

已知tan(π4+α)=12．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求sin2α-cos2α1+cos2α的值．-数学

题目详情

已知tan(
π
4
+α)=
1
2
．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求
sin2α-cos2α
1+cos2α
的值．
题型：解答题难度：中档来源：天津

答案

（Ⅰ）tan(class="stub"π
4
+α)=
tanclass="stub"π
4
+tanα
1-tanclass="stub"π
4
tanα
=class="stub"1+tanα
1-tanα
，
由tan(class="stub"π
4
+α)=class="stub"1
2
，有class="stub"1+tanα
1-tanα
=class="stub"1
2
，解得tanα=-class="stub"1
3
；
（Ⅱ）解法一：
sin2α-cos2α
1+cos2α
=
2sinαcosα-cos2α
1+2cos2α-1

=class="stub"2sinα-cosα
2cosα
=tanα-class="stub"1
2
=-class="stub"1
3
-class="stub"1
2
=class="stub"5
6
．
解法二：由（1），tanα=-class="stub"1
3
，得sinα=-class="stub"1
3
cosα
∴sin2α=class="stub"1
9
cos2α1-cos2α=class="stub"1
9
cos2α，∴cos2α=class="stub"9
10

于是cos2α=2cos2α-1=class="stub"4
5
，
sin2α=2sinαcosα=-class="stub"2
3
cos2α=-class="stub"3
5

代入得
sin2α-cos2α
1+cos2α
=
-class="stub"3
5
-class="stub"9
10
1+class="stub"4
5
=-class="stub"5
6
．

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