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在△ABC中，角A，B，C成等差数列．（1）求角B的大小；（2）若sin(A+B)=22，求sinA的值．-数学

题目简介

在△ABC中，角A，B，C成等差数列．（1）求角B的大小；（2）若sin(A+B)=22，求sinA的值．-数学

题目详情

在△ABC中，角A，B，C成等差数列．
（1）求角B的大小；
（2）若sin(A+B)=
2
2
，求sinA的值．
题型：解答题难度：中档来源：广州模拟

答案

（1）在△ABC中，A+B+C=π，
由角A，B，C成等差数列，得2B=A+C．
解得B=class="stub"π
3
；
（2）方法1：由sin(A+B)=
2
2
，即sin(π-C)=
2
2
，得sinC=
2
2
，
所以C=class="stub"π
4
或C=class="stub"3π
4
，
由（1）知B=class="stub"π
3
，所以C=class="stub"π
4
，即A=class="stub"5π
12
，
所以sinA=sinclass="stub"5π
12
=sin(class="stub"π
4
+class="stub"π
6
)=sinclass="stub"π
4
cosclass="stub"π
6
+cosclass="stub"π
4
sinclass="stub"π
6
=
2
2
×
3
2
+
2
2
×class="stub"1
2
=
2
+
6
4
；
方法2：因为A，B是△ABC的内角，且sin(A+B)=
2
2
，
所以A+B=class="stub"π
4
或A+B=class="stub"3π
4
．
由（1）知B=class="stub"π
3
，
所以A+B=class="stub"3π
4
，即A=class="stub"5π
12
，
所以sinA=sinclass="stub"5π
12
=sin(class="stub"π
4
+class="stub"π
6
)=sinclass="stub"π
4
cosclass="stub"π
6
+cosclass="stub"π
4
sinclass="stub"π
6
=
2
2
×
3
2
+
2
2
×class="stub"1
2
=
2
+
6
4
；
方法3：由（1）知B=class="stub"π
3
，所以sin(A+class="stub"π
3
)=
2
2
，
即sinAcosclass="stub"π
3
+cosAsinclass="stub"π
3
=
2
2
，即class="stub"1
2
sinA+
3
2
cosA=
2
2
，
3
cosA=
2
-sinA，
3cos2A=2-2
2
sinA+sin2A，
又cos2A=1-sin2A，
所以3(1-sin2A)=2-2
2
sinA+sin2A．
即4sin2A-2
2
sinA-1=0，
解得：sinA=
2
±
6
4
，
因为角A是△ABC的内角，所以sinA＞0，
故sinA=
2
+
6
4
．

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