已知函数f(x)=cos2(x+π12)+sinxcosx,.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称中心;(2)若存在x0∈[-π4,π2],使得不等式f(x0)<m成立,求m的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=cos2(x+π12)+sinxcosx,.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称中心;(2)若存在x0∈[-π4,π2],使得不等式f(x0)<m成立,求m的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=cos2(x+
π
12
)+sinxcosx
,.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称中心;
(2)若存在x0∈[-
π
4
π
2
],使得不等式f(x0)<m成立,求m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

f(x)=
1+cos(2x+class="stub"π
6
)
2
+class="stub"1
2
sin2x=class="stub"1
2
+class="stub"1
2
(
3
2
cos2x-class="stub"1
2
sin2x)+class="stub"1
2
sin2x
=class="stub"1
2
+class="stub"1
2
sin(2x+class="stub"π
3
)

(1)f(x)的最小正周期为π,令2x+class="stub"π
3
=kπ
,得x=class="stub"kπ
2
-class="stub"π
6
(k∈Z)

所以函数f(x)的图象的对称中心为(class="stub"kπ
2
-class="stub"π
6
,class="stub"1
2
)(k∈Z)
.(6分)
(2)由x0∈[-class="stub"π
4
class="stub"π
2
],得-class="stub"π
6
≤2x0+class="stub"π
3
≤class="stub"4π
3
,则-
3
2
≤sin(2x0+class="stub"π
3
)≤1

于是class="stub"1
2
-
3
4
≤f(x0)≤1
,而若存在x0∈[-class="stub"π
4
class="stub"π
2
]使得不等式f(x0)<m成立,
只需m>f(x0)min,即m的取值范围为(class="stub"1
2
-
3
4
,+∞)
.(6分)

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