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求y=32cosx+12sinx的最小正周期、单调区间、最值及取得最值时对应的x的集合．-数学

题目简介

求y=32cosx+12sinx的最小正周期、单调区间、最值及取得最值时对应的x的集合．-数学

题目详情

求y=
3
2
cosx+
1
2
sinx的最小正周期、单调区间、最值及取得最值时对应的x的集合．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

∵y=
3
2
cosx+class="stub"1
2
sinx=sin（x+class="stub"π
3
），
∴其最小正周期T=2π；
由2kπ-class="stub"π
2
≤x+class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"π
2
，k∈Z得2kπ-class="stub"5π
6
≤x≤2kπ+class="stub"π
6
，k∈Z，
∴y=
3
2
cosx+class="stub"1
2
sinx的单调递增区间为[2kπ-class="stub"5π
6
，2kπ+class="stub"π
6
]，k∈Z．
同理可得y=
3
2
cosx+class="stub"1
2
sinx的单调递减区间为[2kπ+class="stub"π
6
，2kπ+class="stub"7π
6
]，k∈Z．
由x+class="stub"π
3
=2kπ+class="stub"π
2
，k∈Z得x=2kπ+class="stub"π
6
，即当x=2kπ+class="stub"π
6
时，y=
3
2
cosx+class="stub"1
2
sinx取得最大值1；
x+class="stub"π
3
=2kπ-class="stub"π
2
，k∈Z得x=2kπ-class="stub"5π
6
，即当x=2kπ-class="stub"5π
6
时，y=
3
2
cosx+class="stub"1
2
sinx取得最小值-1；
∴y=
3
2
cosx+class="stub"1
2
sinx取得最大值时，相应的x的集合为{x|x=2kπ+class="stub"π
6
，k∈Z}；
y=
3
2
cosx+class="stub"1
2
sinx取得最小值时，相应的x的集合为{x|x=2kπ-class="stub"5π
6
，k∈Z}．

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