首页 > 设数列{an}，{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1-an}（n∈N+）是等差数列，数列{bn-2}（n∈N+）是等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项

设数列{an}，{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1-an}（n∈N+）是等差数列，数列{bn-2}（n∈N+）是等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项

题目简介

设数列{an}，{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1-an}（n∈N+）是等差数列，数列{bn-2}（n∈N+）是等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项

题目详情

设数列{an}，{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1-an}（n∈N+）是等差数列，数列{bn-2}（n∈N+）是等比数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）是否存在k∈N+，使ak-bk∈(0，
1
2
)，若存在，求出k，若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由已知a2-a1=-2，a3-a2=-1
得公差d=-1-（-2）=1
所以an+1-an=（a2-a1）+（n-1）×1=n-3
故an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=6+（-2）+（-1）+0+…+（n-4）
=6+
[(-2)+(n-4)](n-1)
2

=
n2-7n+18
2

由已知b1-2=4，b2-2=2所以公比q=class="stub"1
2

所以bn-2=(b1-2)(class="stub"1
2
)n-1=4×(class="stub"1
2
)n-1．
故bn=2+8×(class="stub"1
2
)n
（2）设f（k）=ak-bk=(class="stub"1
2
k2-class="stub"7
2
k+9)-[2+8×(class="stub"1
2
)k]
=class="stub"1
2
[(k-class="stub"7
2
)2-class="stub"49
4
]-8×(class="stub"1
2
)k+7
所以当k≥4时，f（k）是增函数．
又f(4)=class="stub"1
2
，所以当k≥4时f(k)≥class="stub"1
2
，
而f（1）=f（2）=f（3）=0，所以不存在k，使f(k)∈(0，class="stub"1
2
)．

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