已知点(1,13)是函数f(x)=ax(a>0),且a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1

题目简介

已知点(1,13)是函数f(x)=ax(a>0),且a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1

题目详情

已知点(1,
1
3
)是函数f(x)=ax(a>0),且a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn,问Tn
1000
2009
的最小正整数n是多少?
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由已知f(1)=a=class="stub"1
3
,∴f(x)=(class="stub"1
3
)
x
,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c=(class="stub"1
3
)-
n
c,
∴a1=f(1)=class="stub"1
3
-c,a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-class="stub"2
9
,a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-class="stub"2
27

数列{an}是等比数列,应有
a2
a1
=
a3
a2
=q,解得c=1,q=class="stub"1
3

∴首项a1=f(1)=class="stub"1
3
-c=-class="stub"2
3

∴等比数列{an}的通项公式为an=(-class="stub"2
3
(class="stub"1
3
)
n-1
=-2(class="stub"1
3
)
n

(2)∵Sn-Sn-1=(
 Sn
-
Sn-1
)(
Sn
+
Sn-1
)
=
Sn
+
Sn-1
(n≥2)
又bn>0,
Sn
>0,∴
Sn
-
Sn-1
=1;
∴数列{
Sn
}构成一个首项为1,公差为1的等差数列,
Sn
=1+(n-1)×1=n                
∴Sn=n2
 当n=1时,b1=S1=1,
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1
又n=1时也适合上式,
∴{bn}的通项公式bn=2n-1.
(2)class="stub"1
bnbn+1
=class="stub"1
(2n-1)×(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)

Tn=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+(class="stub"1
5
-class="stub"1
7
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]

=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)
=class="stub"n
2n+1

Tn>class="stub"1000
2009
,得class="stub"n
2n+1
>class="stub"1000
2009
n>class="stub"1000
9

故满足Tn>class="stub"1000
2009
的最小正整数为112.

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