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> 已知数列{an}的前n项和为sn,点(n,sn)(n∈N*)在函数y=x2的图象上,数列{bn}满足bn=6bn-1+2n+1(n≥2,n∈N*),且b1=a1+3(1)求数列{an}的通项公式;(2
已知数列{an}的前n项和为sn,点(n,sn)(n∈N*)在函数y=x2的图象上,数列{bn}满足bn=6bn-1+2n+1(n≥2,n∈N*),且b1=a1+3(1)求数列{an}的通项公式;(2
题目简介
已知数列{an}的前n项和为sn,点(n,sn)(n∈N*)在函数y=x2的图象上,数列{bn}满足bn=6bn-1+2n+1(n≥2,n∈N*),且b1=a1+3(1)求数列{an}的通项公式;(2
题目详情
已知数列{a
n
}的前n项和为s
n
,点(n,s
n
)(n∈N
*
)在函数y=x
2
的图象上,数列{b
n
}满足b
n
=6b
n-1
+2
n+1
(n≥2,n∈N
*
),且b
1
=a
1
+3
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)证明列数
{
b
n
2
n
+1}
是等比数列,并求数列{b
n
}的通项公式;
(3)设数列{c
n
}满足对任意的
n∈
N
*
,均有
a
n+1
=
c
1
b
1
+2
+
c
2
b
2
+
2
2
+
c
3
b
2
+
2
3
+…+
c
n
b
n
+
2
n
成立c
1
+c
2
+c
3
+…+c
2010
的值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)∵点(n,sn)在函数y=x2的图象上,
∴sn=n2(n∈N*)
当n=1时,a1=s1=12=1
当n≥2时,an=sn-sn-1=n2-(n-1)2=2n-1
a1=1也适合,
∴{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*)
(2)∵bn=6bn-1+2n+1(n≥2)
∴
b
n
2
n
+1=
6
b
n-1
+
2
n+1
2
n
+1=3
b
n-1
2
n-1
+3=3(
b
n-1
2
n-1
+1)(n≥2)
∵
b
1
=
a
1
+3=4∴
b
1
2
1
+1=3
∴
{
b
n
2
n
+1}
其首项为3,公比为3的等比数列
∴
b
n
2
n
+1=3.
3
n-1
=
3
n
∴
b
n
=
6
n
-
2
n
(n∈
N
*
)
(3)由(2)得bn+2n=6n
由题意得
n∈
N
*
均有
a
n+1
=
c
1
b
1
+2
+
c
1
b
2
+
2
2
+
c
3
b
3
+
2
3
++
c
n
b
n
+
2
n
∴
a
n
=
c
1
b
1
+2
+
c
1
b
2
+
2
2
+
c
3
b
3
+
2
3
++
c
n-1
b
n-1
+
2
n-1
(n≥2)
∴
a
n+1
-
a
n
=
c
n
b
n
+
2
n
=2(n≥2)∴
c
n
=2.
6
n
(n≥2)(10分)
又∵
a
2
=
c
1
b
1
+2
=3∴
c
1
=3(
b
1
+2)=3•6=18
∴
c
n
=
18(n=1)
2•
6
n
(n≥2)
(12分)
∴c1+c2+c3+…+c2010=18+2(62+63+64+…+62010)=6+2(61+62+63+…+62010)
=
6+2•
6(
6
2010
-1)
6-1
=
2•
6
2011
+18
5
=
class="stub"2
5
(62011+9)
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已知公差不为0的等差数列{an}
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已知数列{an}是各项均不为0的
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题目简介
已知数列{an}的前n项和为sn,点(n,sn)(n∈N*)在函数y=x2的图象上,数列{bn}满足bn=6bn-1+2n+1(n≥2,n∈N*),且b1=a1+3(1)求数列{an}的通项公式;(2
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(2)证明列数{
(3)设数列{cn}满足对任意的n∈N*,均有an+1=
答案
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当n=1时,a1=s1=12=1
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∴{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*)
(2)∵bn=6bn-1+2n+1(n≥2)
∴
∵b1=a1+3=4∴
∴{
∴
(3)由(2)得bn+2n=6n
由题意得n∈N*均有an+1=
∴an=
∴an+1-an=
∴cn=
∴c1+c2+c3+…+c2010=18+2(62+63+64+…+62010)=6+2(61+62+63+…+62010)
=6+2•
=