已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通

题目简介

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通

题目详情

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前 n项和,且满足
a2n
=S2n-1
,n∈N*.数列{bn}满足bn=
1
anan+1
,Tn为数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Tn
(3)若对任意的n∈N*,不等式λTn<n+8-(-1)n恒成立,求实数λ的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,
在an2=S2n-1中,令n=1,n=2,
a12=S1
a22=S3
,即
a12=a1
(a1+d)2=3a1+3d
,(4分)
解得a1=1,d=2,
∴an=2n-1.
(2)bn=class="stub"1
anan+1
=class="stub"1
2
class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
),
∴Tn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1

(3)①当n为偶数时,要使不等式λTn<n+8-(-1)n恒成立,
即需不等式λ<
(n+8)(2n+1)
n
=2n+class="stub"8
n
+17恒成立.
∵2n+class="stub"8
n
≥8,当且仅当n=2时取“=”,
∴λ<25(8分)
②当n为奇数时,要使不等式λTn<n+8-(-1)n恒成立,即需不等式
λ<
(n-8)(2n+1)
n
=2n-class="stub"8
n
-15恒成立.
∵2n-class="stub"8
n
随n增大而增大,
∴n=1时,2n-class="stub"8
n
取得最小值-6.
∴λ<-21.(10分)
综合①、②可得λ的取值范围是λ<-21.

更多内容推荐