首页 > 已知正项数列{an}中，a1=6，点An(an，an+1)在抛物线y2=x+1上；数列{bn}中，点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通

已知正项数列{an}中，a1=6，点An(an，an+1)在抛物线y2=x+1上；数列{bn}中，点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通

题目简介

已知正项数列{an}中，a1=6，点An(an，an+1)在抛物线y2=x+1上；数列{bn}中，点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通

题目详情

已知正项数列{an}中，a1=6，点An(an，
an+1
)在抛物线y2=x+1上；数列{bn}中，点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（文理共答）
（Ⅱ）若f（n）=
an，(n为奇数)
bn，(n为偶数)
，问是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（文理共答）
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式
an+1
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
an
n-2+an
≤0成立，求正数a的取值范围．（只理科答）
题型：解答题难度：中档来源：河东区二模

答案

（Ⅰ）将点An(an，
an+1
)代入抛物线y2=x+1，
得an+1=an+1，
∴an+1-an=d=1，
∴an=a1+（n-1）•1=n+5，
∵过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，
点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上，
∴bn=2n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=
an，(n为奇数)
bn，(n为偶数)
=
n+5，n为奇数
2n+1，n为偶数
，
当k为偶数时，k+27为奇数，
∴f（k+27）=4f（k），
∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．
当k为奇数时，k+27为偶数，
∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=class="stub"35
2
（舍去）
综上所述，存在唯一的k=4符合条件．
（Ⅲ）由
an+1
(1+class="stub"1
b1
)(1+class="stub"1
b2
)…(1+class="stub"1
bn
)
-
an
n-2
+an
≤0，
即a≤class="stub"1
2n+3
(1+class="stub"1
b1
)(1+class="stub"1
b2
)…(1+class="stub"1
bn
)，
设f（n+1）=class="stub"1
2n+5
(1+class="stub"1
b1
)(1+class="stub"1
b2
)…(1+class="stub"1
bn
)(1+class="stub"1
bn+1
)，
∴
f(n+1)
f(n)
=
2n+3
2n+5
•(1+class="stub"1
bn+1
)
=
2n+3
2n+5
•class="stub"2n+4
2n+3

=class="stub"2n+4
2n+5
•
2n+3

=
4n2+16n+16
4n2+16n+15
＞1，
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）递增，
∴f（n）min=f（1）=class="stub"1
5
•class="stub"4
3
=
4
5
15
，
∴0＜a≤
4
5
15
．…（12分）

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