在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项Sn满足Sn2=an(Sn-12).(I)求an;(II)设bn=Sn2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn;(III)是否存在自然数m,使得对任意n∈

题目简介

在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项Sn满足Sn2=an(Sn-12).(I)求an;(II)设bn=Sn2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn;(III)是否存在自然数m,使得对任意n∈

题目详情

在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项Sn满足Sn2=an(Sn-
1
2
)

(I)求an
(II)设bn=
Sn
2n+1
,求数列{bn}的前n项和Tn
(III)是否存在自然数m,使得对任意n∈N*,都有Tn
1
4
(m-8)成立?若存在,求出m的最大值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)∵Sn2=an(Sn-class="stub"1
2
)(n≥2)
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-class="stub"1
2

∴2SnSn-1=Sn-1-Sn
∴2=class="stub"1
Sn
-class="stub"1
Sn-1
…(2分)
又a1=1,class="stub"1
S1
=1
∴数列{class="stub"1
Sn
}
为首项为1,公差为2的等差数列.…(3分)
class="stub"1
Sn
=1+(n-1)•2=2n-1
∴Sn=class="stub"1
2n-1

∴an=
1,(n=1)
-class="stub"2
(2n-1)(2n-3)
,(n≥2)
…(5分)
(II)bn=
Sn
2n+1
=class="stub"1
(2n+1)(2n-1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1

∴Tn=b1+b2+…+bn=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(class="stub"1
2n-3
-class="stub"1
2n-1
)+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]
=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1
…(8分)
(III)令T(x)=class="stub"x
2x+1
,则T(x)在[1,+∞)上是增函数
∴当n=1时Tn=class="stub"n
2n+1
(n∈N*)
取得最小值.T1=class="stub"1
3
…(10分)
由题意可知,要使得对任意n∈N*,都有Tn>class="stub"1
4
(m-8)成立,
只要T1>class="stub"1
4
(m-8)即可.
class="stub"1
3
>class="stub"1
4
(m-8),解之得m<class="stub"28
3

又∵m∈n,∴m=9.…(12分)

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