已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a3+b4=24，S5-b4=24．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）对任意n∈N*，是否存在正实数λ，使

题目简介

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）对任意n∈N^*，是否存在正实数λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，若存在，求出λ的最小值，若不存在，说明理由．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
∵a1=b1=2，a3+b4=24，S5-b4=24．
∴

2+2d+2q3=24

10+10d-2q3=24

，解得

d=3

q=2

．
∴an=3n-1，bn=2n
（2）假设存在正实数λ，使不等式an-9≤λbn恒成立，
∴3n-1-9≤λ•2n，即λ≥class="stub"3n-10

对任意n∈N*恒成立．
设cn=class="stub"3n-10

，
则cn+1-cn=

3(n+1)-10

2n+1

-class="stub"3n-10

=class="stub"13-3n

2n+1

，
当n≥5时，cn+1＜cn，{cn}为单调递减数列；
当1≤n＜5时，cn+1＞cn，{cn}为单调递增数列．
又c4=class="stub"1

＜c5=class="stub"5

，
所以当n=5时，cn取得最大值class="stub"5

所以要使λ≥class="stub"3n-10

对任意n∈N*恒成立，
则λ≥class="stub"5

，
即λmin=class="stub"5

．