首页 > 已知函数f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），且y=f（x）的图象经过点（1，n2），n=1，2，…，数列{an}为等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）当n

已知函数f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），且y=f（x）的图象经过点（1，n2），n=1，2，…，数列{an}为等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）当n

题目简介

已知函数f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），且y=f（x）的图象经过点（1，n2），n=1，2，…，数列{an}为等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）当n

题目详情

已知函数f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），且y=f（x）的图象经过点（1，n2），n=1，2，…，数列{an}为等差数列．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）当n为奇数时，设g(x)=
1
2
[f(x)-f(-x)]，是否存在自然数m和M，使得不等式m＜
1
2
＜M恒成立？若存在，求出M-m的最小值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：崇文区二模

答案

（I）由题意得f（1）=n2，即a1+a2+a3+…+an=n2
令n=1，则a0+a1=1，
令n=2则a0+a1+a2=22，
a2=4-（a0+a1）=3
令n=3则a0+a1+a2+a3=32
a3=9-（a0+a1+a2）=5
设等差数列{an}的公差为d，则d=a3-a2=2，a1=1
∴an=1+（n-1）×2=2n-1
（II）由（I）知：f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn
n为奇数时，f（-x）=-a1x+a2x2-a3x3+…-anxn
∴g（x）=class="stub"1
2
[f（x）-f（-x）=a1x+a3x3+a5x5…+anxn
g（class="stub"1
2
）=1×class="stub"1
2
+5×(class="stub"1
2
)3+9×(class="stub"1
2
)5+…+(2n-1)×(class="stub"1
2
)n①
class="stub"1
4
g(class="stub"1
2
)=1× (class="stub"1
2
)3 +5×(class="stub"1
2
)5+…+(2n-1)×(class="stub"1
2
)n+2②
由①-②得：class="stub"3
4
×g(class="stub"1
2
)=4
class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)
1-class="stub"1
4
-（2n-1）×(class="stub"1
2
)n+2-class="stub"3
2

∴g（class="stub"1
2
）=class="stub"14
9
-class="stub"13
9
× (class="stub"1
2
)n-class="stub"2n
3
(class="stub"1
2
)n＜class="stub"14
9

设cn=class="stub"2n
3
(class="stub"1
2
)n
∵cn+1-cn=class="stub"1
3
(1-n)×(class="stub"1
2
)n≤0
∴cn随n的增大而减小，又class="stub"13
9
×(class="stub"1
2
)n随n的增大而减小
∴g（class="stub"1
2
）为n的增函数，
当n=1时，g（class="stub"1
2
）=class="stub"1
2

而g（class="stub"1
2
）＜class="stub"14
9

∴class="stub"1
2
≤g(class="stub"1
2
)＜class="stub"14
9

易知：使m＜g(class="stub"1
2
)＜M恒成立的m的最大值为0，M的最小值为2，
∴M-m的最小值为2．

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