已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项的和为Sn,且Sn=1-12bn.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记cn=anbn

题目简介

已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项的和为Sn,且Sn=1-12bn.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记cn=anbn

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已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项的和为Sn,且Sn=1-
1
2
bn.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记cn=anbn,求证cn+1≤cn
题型:解答题难度:中档来源:甘肃模拟

答案

(1)∵a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,且数列{an}的公差d>0,
∴a3=5,a5=9,公差d=
a5-a3
5-3
=2.

∴an=a5+(n-5)d=2n-1.
又当n=1时,有b1=S1=1-class="stub"1
2
b1,∴b1=class="stub"2
3
.

n≥2时,有bn=Sn-Sn-1=class="stub"1
2
(bn-1-bn),∴
bn
bn-1
=class="stub"1
3
(n≥2).

∴数列{bn}是等比数列,b1=class="stub"2
3
,q=class="stub"1
3
.

bn=b1qn-1=class="stub"2
3n
.

(2)由(Ⅰ)知cn=anbn=
2(2n-1)
3n
cn+1=
2(2n+1)
3n+1

cn+1-cn=
2(2n+1)
3n+1
-
2(2n-1)
3n
=
8(1-n)
3n+1
≤0.

∴cn+1≤cn.

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