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设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-2n（n-1），n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn=an2n，求数列{bn}的前n项和Tn；（III）求使不等式(1+

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-2n（n-1），n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn=an2n，求数列{bn}的前n项和Tn；（III）求使不等式(1+

题目详情

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-2n（n-1），n∈N*．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设bn=
an
2n
，求数列{bn}的前n项和Tn；
（III）求使不等式(1+
2
a1+1
)(1+
2
a2+1
)…(1+
3
an+1
)≥p
2n+1
对一切n∈N*均成立的最大实数p的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）证明：∵a1=1，Sn=nan-2n（n-1），
Sn+1=（n+1）an+1-2（n+1）n，
∴an+1=Sn+1-Sn=（n+1）an+1-nan-4n，
∴an+1-an=4，
∴数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴an=1+（n-1）•4=4n-3．
（II）由（I）知：an=4n-3，
∴bn=
an
2n
=class="stub"4n-3
2n
，
∴Tn=class="stub"1
2
+class="stub"5
22
+class="stub"9
23
+…+class="stub"4n-7
2n-1
+class="stub"4n-3
2n
，
∴class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2 2
+class="stub"5
23
+class="stub"9
24
+…+class="stub"4n-7
2n
+class="stub"4n-3
2n+1
，
两式相减，得：class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2
+4(class="stub"1
2 2
+class="stub"1
2 3
+class="stub"1
2 4
+…+class="stub"1
2 n
）-class="stub"4n-3
2n+1

=class="stub"1
2
+4×
class="stub"1
2 2
(1-class="stub"1
2 n-1
)
1-class="stub"1
2
-class="stub"4n-3
2n+1

=class="stub"1
2
+2-class="stub"2
2 n-1
-class="stub"4n-3
2n+1
，
∴Tn=5-class="stub"4n+5
2n
．
（III）∵(1+class="stub"2
a1+1
)(1+class="stub"2
a2+1
)…(1+class="stub"2
an+1
)≥p
2n+1
对一切n∈N*均成立，
即p≤class="stub"1
2n+1
(1+class="stub"2
a1+1
)(1+class="stub"2
a2+1
)…(1+class="stub"2
an+1
)对一切n∈N*均成立，
只需p≤[class="stub"1
2n+1
(1+class="stub"2
a1+1
)(1+class="stub"2
a2+1
)…(1+class="stub"2
an+1
)]minmin，n∈N*，
令f(n)=class="stub"1
2n+1
(1+class="stub"2
a1+1
 )(1+class="stub"2
a2+1
)…(1+class="stub"2
an-1+1
)，n≥2，且n∈N*，
则f(n-1)=class="stub"1
2n-1
(1+class="stub"2
a1+1
)(1+class="stub"2
a2+1
)…(1+class="stub"2
an-1+1
)，n≥2，且n∈N*，
f(n)
f(n-1)
=
2n-1
2n+1
(1+class="stub"2
an+1
)=
2n-1
2n+1
•class="stub"2n
2n-1
=class="stub"2n
4n2-1
＞1，n≥2，且n∈N*，
∴f（n）＞f（n-1），n≥2，且n∈N*，
即f（n）在n∈N*上为增函数，
∴f(n) min=f(1)=class="stub"2
3
=
2
3
3
，
∴p≤
2
3
3
，
故实数p的最大值是
2
3
3
．

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