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从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的积为8，并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{an}中的a3、a4、a5．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=an+1an+anan+1，数列{

题目简介

从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的积为8，并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{an}中的a3、a4、a5．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=an+1an+anan+1，数列{

题目详情

从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的积为8，并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{an}中的a3、a4、a5．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=
an+1
an
+
an
an+1
，数列{bn}的前项和为Tn，求Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）设小到大排列的三个数分别为class="stub"a
q
，a，aq，则class="stub"a
q
⋅a⋅aq=a3=8，解得a=2．所以这三个数为class="stub"2
q
，2，2q．这三个数分别加上2、2、1后为class="stub"2
q
+2，4，2q+1，即a3=class="stub"2
q
+2，a4=4，a5=2q+1，
又a3、a4、a5为等差数列，所以a3+a5=2a4，即class="stub"2
q
+2+2q+1=2×4=8，即2q2-5q+2=0．解得q=2或q=class="stub"1
2
．
因为三个数是从小到大成等比数列，所以q=class="stub"1
2
不成立，舍去，所以q=2．
所以三个数为，1，2，4．即a3=3，a4=4，a5=5．
所以公差d=1，所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)=n，n∈N•．
（Ⅱ）因为bn=
an+1
an
+
an
an+1
=class="stub"n+1
n
+class="stub"n
n+1
=2+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
，
所以Tn=(2+1-class="stub"1
2
)+(2+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(2+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)
=2n+1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
=2n+1-class="stub"1
n+1
=2n+class="stub"n
n+1
．
即数列{bn}的前项和为Tn=2n+class="stub"n
n+1
，n∈N•．

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