已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn,数列{Snn}是首项为0,公差为12的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=415•(-2)an(n∈N*),对任意的正整数k,将集合{

题目简介

已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn,数列{Snn}是首项为0,公差为12的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=415•(-2)an(n∈N*),对任意的正整数k,将集合{

题目详情

已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn,数列{
Sn
n
}
是首项为0,公差为
1
2
的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)
,对任意的正整数k,将集合{b2k-1,b2k,b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列,其公差为dk,求证:数列{dk}为等比数列;
(3)对(2)题中的dk,求集合{x|dk<x<dk+1,x∈Z}的元素个数.
题型:解答题难度:中档来源:松江区二模

答案

(1)由条件得
Sn
n
=0+(n-1)class="stub"1
2
,即Sn=class="stub"n
2
(n-1)

an=n-1(n∈N*)
(2)由(1)可知bn=class="stub"4
15
•(-2)n-1(n∈N*)

b2k-1=class="stub"4
15
(-2)2k-2=class="stub"4
15
22k-2
b2k=class="stub"4
15
(-2)2k-1=-class="stub"4
15
22k-1
b2k+1=class="stub"4
15
(-2)2k=class="stub"4
15
22k

由2b2k-1=b2k+b2k+1及b2k<b2k-1<b2k+1得b2k,b2k-1,b2k+1依次成递增的等差数列,
所以dk=b2k+1-b2k-1=class="stub"4
15
22k-class="stub"4
15
22k-2=
4k
5

满足
dk+1
dk
=4
为常数,所以数列{dk}为等比数列.
(3)①当k为奇数时,
dk=
4k
5
=
(5-1)k
5
=
5k-
C1k
5k-1+
C2k
5k-2-…+(-1)k
5
=5k-1-
C1k
5k-2+
C2k
5k-3-…+
Ck-1k
50(-1)k-1-class="stub"1
5

同样,可得dk+1=
4k+1
5
=
(5-1)k+1
5
=5k-
C1k+1
5k-1+
C2k+1
5k-2-…+
Ckk+1
50(-1)k+class="stub"1
5

所以,集合{x|dk<x<dk+1,x∈Z}的元素个数为(dk+1-class="stub"1
5
)-(dk+class="stub"1
5
)+1
=dk+1-dk+class="stub"3
5
=
3(4k+1)
5

②当k为偶数时,同理可得集合{x|dk<x<dk+1,x∈Z}的元素个数为
3•(4k-1)
5

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