首页 > （文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14且Sn=Sn-1+an-1+12，数列{bn}满足b1=-1194且3bn-bn-1=n（n≥2且n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）求证：

（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14且Sn=Sn-1+an-1+12，数列{bn}满足b1=-1194且3bn-bn-1=n（n≥2且n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）求证：

题目简介

（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14且Sn=Sn-1+an-1+12，数列{bn}满足b1=-1194且3bn-bn-1=n（n≥2且n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）求证：

题目详情

（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=
1
4
且Sn=Sn-1+an-1+
1
2
，数列{bn}满足b1=-
119
4
且3bn-bn-1=n（n≥2且n∈N*）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn-an}为等比数列；
（3）求{bn}前n项和的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由Sn=Sn-1+an-1+class="stub"1
2
，得Sn-Sn-1=an-1+class="stub"1
2
，2an=2a n-1+1，an-a n-1+class="stub"1
2
…2分
∴an=a1+（n-1）d=class="stub"1
2
n-class="stub"1
4

（2）证明：∵3bn-bn-1=n，∴bn=class="stub"1
3
bn-1+class="stub"1
3
n，
∴bn-an=class="stub"1
3
bn-1+class="stub"1
3
n-class="stub"1
2
n+class="stub"1
4
=class="stub"1
3
bn-1-class="stub"1
6
n+class="stub"1
4
=class="stub"1
3
（bn-1-class="stub"1
2
n+class="stub"3
4
）；
bn-1-an-1=bn-1-class="stub"1
2
（n-1）+class="stub"1
4
=bn-1-class="stub"1
2
n+class="stub"3
4
；
∴由上面两式得
bn-an
bn-1-an-1
=class="stub"1
3
，又b1-a1=-class="stub"119
4
-class="stub"1
4
=-30
∴数列{bn-an}是以-30为首项，class="stub"1
3
为公比的等比数列．
（3）由（2）得bn-an=-30×(class="stub"1
3
)n-1，
∴bn=an-30×(class="stub"1
3
)n-1=class="stub"1
2
n-class="stub"1
4
-30×(class="stub"1
3
)n-1，
bn-bn-1=class="stub"1
2
n-class="stub"1
4
-30×(class="stub"1
3
)n-1-class="stub"1
2
(n-1)+class="stub"1
4
+30×(class="stub"1
3
)n-2
=class="stub"1
2
+ 30×(class="stub"1
3
)n-2(1-class="stub"1
3
)
=class="stub"1
2
+ 20×(class="stub"1
3
)n-2＞0，∴{bn}是递增数列
当n=1时，b1=-class="stub"119
4
＜0；当n=2时，b2=class="stub"3
4
-10＜0；
当n=3时，b3=class="stub"5
4
-class="stub"10
3
＜0；当n=4时，b4=class="stub"7
4
-class="stub"10
9
＞0，
所以，从第4项起的各项均大于0，故前3项之和最小．
且S3=class="stub"1
4
(1+3+5)-30-10-class="stub"10
3
=-41class="stub"1
12
．

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