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> 已知等差数列{an}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足a2•a4=45,a1+a5=14.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn;(Ⅱ)令bn=1a2n-1(n∈N*),若数列{cn}满
已知等差数列{an}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足a2•a4=45,a1+a5=14.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn;(Ⅱ)令bn=1a2n-1(n∈N*),若数列{cn}满
题目简介
已知等差数列{an}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足a2•a4=45,a1+a5=14.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn;(Ⅱ)令bn=1a2n-1(n∈N*),若数列{cn}满
题目详情
已知等差数列{a
n
}中,公差d>0,其前n项和为S
n
,且满足a
2
•a
4
=45,a
1
+a
5
=14.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式及其前n项和S
n
;
(Ⅱ)令b
n
=
1
a
2n
-1
(n∈N
*
),若数列{c
n
}满足c
1
=-
1
4
,c
n+1
-c
n
=b
n
(n∈N
*
).求数列{c
n
}的通项公式c
n
;
(Ⅲ)求f(n)=
n
9
-
b
n
c
n
(n∈N
*
)的最小值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(本小题10分)
(Ⅰ)因为数列{an}是等差数列,
所以a1+a5=a2+a4=14.
因为d>0,a2•a4=45
所以解方程组可得,a2=5,a4=9.(2分)
所以a1=3,d=2.
所以an=2n+1.
因为Sn=na1+
class="stub"1
2
n(n-1)d,
所以Sn=n2+2n.
数列{an}的通项公式an=2n+1,前n项和公式Sn=n2+2n.(4分)
(Ⅱ)因为bn=
class="stub"1
a
2n
-1
(n∈N*),an=2n+1,
所以bn=
class="stub"1
4n(n+1)
.
因为数列{cn}满足c1=-
class="stub"1
4
,cn+1-cn=
class="stub"1
4n(n-1)
,
所以cn+1-cn=
class="stub"1
4
(
class="stub"1
n
-
class="stub"1
n+1
).
cn-cn+1=
class="stub"1
4
(
class="stub"1
n+1
-
class="stub"1
n
)
…
c2-c1=
class="stub"1
4
(1-
class="stub"1
2
)
以上各式相加得:cn+1-c1=
class="stub"1
4
(1-
class="stub"1
n+1
)=
class="stub"n
4(n+1)
.
因为c1=
class="stub"1
4
,
所以
c
n+1
=-
class="stub"1
4(n+1)
.
所以
c
n
=-
class="stub"1
4n
.(7分)
(Ⅲ)因为f(n)=
class="stub"n
9
-
b
n
c
n
,bn=
class="stub"1
4n(n+1)
,cn=-
class="stub"1
4n
,
所以f(n)=
class="stub"n
9
+
class="stub"1
n+1
.
因为f(n)=
class="stub"n
9
+
class="stub"1
n+1
=
class="stub"n+1
9
+
class="stub"1
n+1
-
class="stub"1
9
,
所以
class="stub"n+1
9
+
class="stub"1
n+1
-
class="stub"1
9
≥2
class="stub"n+1
9
•
class="stub"1
n+1
-
class="stub"1
9
f(n)≥
class="stub"2
3
-
class="stub"1
9
=
class="stub"5
9
,当且仅当
class="stub"n+1
9
=
class="stub"1
n+1
,即n=2时等号成立.
当n=2时,f(n)最小值为
class="stub"5
9
.(10分)
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如下图所示,由若干个点组成形如
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已知数列{an}的各项均为正数,记
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题目简介
已知等差数列{an}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足a2•a4=45,a1+a5=14.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn;(Ⅱ)令bn=1a2n-1(n∈N*),若数列{cn}满
题目详情
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn;
(Ⅱ)令bn=
(Ⅲ)求f(n)=
答案
(Ⅰ)因为数列{an}是等差数列,
所以a1+a5=a2+a4=14.
因为d>0,a2•a4=45
所以解方程组可得,a2=5,a4=9.(2分)
所以a1=3,d=2.
所以an=2n+1.
因为Sn=na1+
所以Sn=n2+2n.
数列{an}的通项公式an=2n+1,前n项和公式Sn=n2+2n.(4分)
(Ⅱ)因为bn=
所以bn=
因为数列{cn}满足c1=-
所以cn+1-cn=
cn-cn+1=
…
c2-c1=
以上各式相加得:cn+1-c1=
因为c1=
所以cn+1=-
所以cn=-
(Ⅲ)因为f(n)=
所以f(n)=
因为f(n)=
所以
f(n)≥
当n=2时,f(n)最小值为