已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+……+an,B(n)=a2+a3+……+an+1,C(n)=a3+a4+……+an+2,n=1,2,……。(1)若a1=1,a2=5,且对任意n

题目简介

已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+……+an,B(n)=a2+a3+……+an+1,C(n)=a3+a4+……+an+2,n=1,2,……。(1)若a1=1,a2=5,且对任意n

题目详情

已知数列{an} 的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+ ……+an,B(n)=a2+a3+ ……+an+1,C(n)=a3+a4+ ……+an+2,n=1 ,2 ,…… 。
(1)若a1=1 ,a2=5 ,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an} 的通项公式,
(2)证明:数列{an} 是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列。
题型:解答题难度:中档来源:高考真题

答案

解:(1)对任意,三个数是等差数列,
所以
亦即
故数列是首项为1,公差为4的等差数列
于是
(2)①必要性:若数列是公比为的等比数列,则对任意

知,均大于0,
于是


所以三个数组成公比为的等比数列。
②充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,
,于是


从而
因为,所以
故数列是首项为,公比为的等比数列,
综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列。

更多内容推荐