首页 > 已知y=f（x）定义在R上的单调函数，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）·f（y），设数列{an}满足a1=f（0），且（n∈N*）．（Ⅰ）求通项公式an的表

已知y=f（x）定义在R上的单调函数，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）·f（y），设数列{an}满足a1=f（0），且（n∈N*）．（Ⅰ）求通项公式an的表

题目简介

已知y=f（x）定义在R上的单调函数，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）·f（y），设数列{an}满足a1=f（0），且（n∈N*）．（Ⅰ）求通项公式an的表

题目详情

已知y=f（x）定义在R上的单调函数，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）·f（y），设数列{an}满足a1=f（0），且（n∈N*）．
（Ⅰ）求通项公式an的表达式；
（Ⅱ）令，Sn=b1+b2+…+bn，，试比较Sn与的大小，并加以证明．
题型：单选题难度：中档来源：甘肃省月考题

答案

解：（Ⅰ）由题意，令y=0，x＜0，得f（x）[1﹣f（0）]=0，
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴a1=f（0）=1
由递推关系知f（an+1）?f（﹣2﹣an）=1，即f（an+1﹣2﹣an）=f（0），
∵f（x）在R上单调，∴an+1﹣an=2，（n∈N*），
又a1=1，∴an=2n﹣1．
（Ⅱ）=，
∴=，

=，
，
∴欲比较Sn与的大小，只需比较4n与2n+1的大小．
∵4n=（1+3）n=Cn0+Cn1?3+…+Cnn?3n≥1+3n＞2n+1，
∴Sn＞．

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