已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn．（1）求数列{an}的通项公式．（2）若bn=2kn

题目简介

题目详情

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若bn=2knan，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）设Q={x|x=k_n，n∈N^*}，R={x|x=2a_n，n∈N^*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

题型：解答题难度：中档来源：肇庆二模

答案

（1）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，
∴Sn=n2+2n（n∈N*），
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1．
当n=1时，a1=S1=3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an=2n+1（3分）
（2）由f（x）=x2+2x求导可得f′（x）=2x+2
∵过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn，
∴kn=2n+2．
∴bn=2knan=4•(2n+1)•4n．
∴Tn=4×3×41+4×5×42+4×7×43++4×（2n+1）×4n①
由①×4，得4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44++4×（2n+1）×4n+1②
①-②得：-3Tn=4[3×4+2×（42+43++4n）-（2n+1）×4n+1]=4[3×4+2×

42(1-4n-1)

1-4

-(2n+1)×4n+1]∴Tn=class="stub"6n+1

•4n+2-class="stub"16

．（8分）
（3）∵Q={x|x=2n+2，n∈N*}，R={x|x=4n+2，n∈N*}，∴Q∩R=R．
又∵cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，
∴c1=6．
∵{cn}是公差是4的倍数，
∴c10=4m+6（m∈N*）．
又∵110＜c10＜115，
∴

110＜4m+6＜115

m∈N*

，解得m=27．
所以c10=114，
设等差数列的公差为d，则d=

c10-c1

10-1

=class="stub"114-6

=12，
∴cn=6+（n+1）×12=12n-6，所以{cn}的通项公式为cn=12n-6（14分）

上一篇 : 在等差数列{an}中，a1=1，a7=4，数列
下一篇 : 各项都是正数的等比数列{an}的

已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn．（1）求数列{an}的通项公式．（2）若bn=2kn

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐