首页 > 设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求证：an2=2Sn-an；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求证：an2=2Sn-an；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ

题目简介

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求证：an2=2Sn-an；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ

题目详情

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn为数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求证：an2=2Sn-an；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=3n+（-1）n-1λ•2an（λ为非零整数，n∈N*）试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．
题型：解答题难度：中档来源：淄博二模

答案

（Ⅰ）由已知得，当n=1时，a13=S12=a12，
又∵an＞0，∴a1=1
当n≥2时，a13+a23++an3=Sn2①
a13+a23++an-13=Sn-12②
由①-②得，an3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=an（Sn+Sn-1）
∴an2=Sn+Sn-1=2Sn-an（n≥2）
显然当n=1时，a1=1适合上式．
故an2=2Sn-an（n∈N*）
（Ⅱ）由（I）得，an2=2Sn-an③
an-12=2Sn-1-an-1（n≥2）④
由③-④得，an2-an-12=2Sn-2Sn-1-an+an-1=an+an-1
∵an+an-1＞0∴an-an-1=1（n≥2）
故数列an是首项为1，公差为1的等差数列．
∴an=n（n∈N*）
（III）∵an=n（n∈N*），∴bn=3n+（-1）n-1λ•2n
∴bn+1-bn=3n+1-3n+（-1）nλ•2n+1-（-1）n-1λ•2n=2×3n-3λ•（-1）n-1•2n
要使bn-1＞bn恒成立，只须（-1）n-1 λ＜(class="stub"3
2
)n-1
（1）当n为奇数时，即λ＜(class="stub"3
2
)n-1恒成立，
又(class="stub"3
2
)n-1的最小值为1，∴λ＜1
（2）当为偶数时，即λ＞(class="stub"3
2
)n-1恒成立，
又-(class="stub"3
2
)n-1的最大值为-class="stub"3
2
，
∴λ＞-class="stub"3
2
，∴由（1）（2）得-class="stub"3
2
＜λ＜1，
又λ=0且为整数，∴λ=-1对所有n∈N+，都有bn+1＞bn成立．

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