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> 已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,首项为a1,且12,an,Sn成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若an2=(12)bn,设cn=bnan,求数列{cn}的前n项和Tn.-
已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,首项为a1,且12,an,Sn成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若an2=(12)bn,设cn=bnan,求数列{cn}的前n项和Tn.-
题目简介
已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,首项为a1,且12,an,Sn成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若an2=(12)bn,设cn=bnan,求数列{cn}的前n项和Tn.-
题目详情
已知各项均为正数的数列{a
n
}前n项和为S
n
,首项为a
1
,且
1
2
,a
n
,S
n
成等差数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若a
n
2
=(
1
2
)
b
n
,设c
n
=
b
n
a
n
,求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(本小题满分12分)
(Ⅰ)由题意知
2
a
n
=
S
n
+
class="stub"1
2
,
a
n
>0
,…(1分)
当n=1时,2a1=a1+
class="stub"1
2
,解得a1=
class="stub"1
2
,
当n≥2时,
S
n
=2
a
n
-
class="stub"1
2
,
S
n-1
=2
a
n-1
-
class="stub"1
2
,
两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1…(3分)
整理得:
a
n
a
n-1
=2
…(4分)
∴数列{an}是以
class="stub"1
2
为首项,2为公比的等比数列.
∴
a
n
=
a
1
•
2
n-1
=
class="stub"1
2
×
2
n-1
=
2
n-2
.…(5分)
(Ⅱ)
a
2n
=
2
-
b
n
=
2
2n-4
∴bn=4-2n,…(6分)
∴
C
n
=
b
n
a
n
=
class="stub"4-2n
2
n-2
=
class="stub"16-8n
2
n
T
n
=
class="stub"8
2
+
class="stub"0
2
2
+
class="stub"-8
2
3
+…
class="stub"24-8n
2
n-1
+
class="stub"16-8n
2
n
…①
class="stub"1
2
T
n
=
class="stub"8
2
2
+
class="stub"0
2
3
+…+
class="stub"24-8n
2
n
+
class="stub"16-8n
2
n+1
…②
①-②得
class="stub"1
2
T
n
=4-8(
class="stub"1
2
2
+
class="stub"1
2
3
+…+
class="stub"1
2
n
)-
class="stub"16-8n
2
n+1
…(9分)
=4-8•
class="stub"1
2
2
(1-
class="stub"1
2
n-1
)
1-
class="stub"1
2
-
class="stub"16-8n
2
n+1
=4-4(1-
class="stub"1
2
n-1
)-
class="stub"16-8n
2
n+1
=
class="stub"4n
2
n
.…(11分)
∴
T
n
=
class="stub"8n
2
n
.…(12分)
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已知数列{an}是等差数列,数列{b
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题目简介
已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,首项为a1,且12,an,Sn成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若an2=(12)bn,设cn=bnan,求数列{cn}的前n项和Tn.-
题目详情
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若an2=(
答案
(Ⅰ)由题意知2an=Sn+
当n=1时,2a1=a1+
当n≥2时,Sn=2an-
两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1…(3分)
整理得:
∴数列{an}是以
∴an=a1•2n-1=
(Ⅱ)
∴bn=4-2n,…(6分)
∴Cn=
①-②得
∴Tn=