函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0≤ϕ≤π)是R上的偶函数,(1)求ϕ的值.(2)若f(x)图象上的点关于M(34π,0)对称,①求ω满足的关系式;②若f(x)在区间[0,π2]上是单调函数

题目简介

函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0≤ϕ≤π)是R上的偶函数,(1)求ϕ的值.(2)若f(x)图象上的点关于M(34π,0)对称,①求ω满足的关系式;②若f(x)在区间[0,π2]上是单调函数

题目详情

函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0≤ϕ≤π)是R上的偶函数,
(1)求ϕ的值.
(2)若f(x)图象上的点关于M(
3
4
π,0
)对称,①求ω满足的关系式;②若f(x)在区间[0,
π
2
]上是单调函数,求ω的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由f(x)是偶函数,可得f(0)=±1,
故sinϕ=±1,即ϕ=kπ+class="stub"π
2

结合题设0≤ϕ≤π,解之得ϕ=class="stub"π
2
,…(5分)
(2)由(1)知f(x)=sin(ωx+class="stub"π
2
)
=cosωx,
∵f(x)图象上的点关于M(class="stub"3
4
π,0
)对称,
∴f(class="stub"3
4
π
)=cosclass="stub"3
4
ωπ
=0,故class="stub"3
4
ωπ
=kπ+class="stub"π
2
(k∈N)

ω=class="stub"2
3
(2k+1),k=0,1,2,…
.…(10分)
∵f(x)在区间[0,class="stub"π
2
]上是单调函数,可得class="stub"π
2
≤class="stub"1
2
•class="stub"2π
ω
,即ω≤2
又∵ω=class="stub"2
3
(2k+1),k=0,1,2,…

∴综合以上条件,可得ω=class="stub"2
3
或ω=2.…(16分)

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