首页 > 已知向量m=(3sinx4，1)，n=(cosx4，cos2x4)．（1）若m•n=1，求cos(x+π3)的值；（2）记函数f（x）=m•n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足

已知向量m=(3sinx4，1)，n=(cosx4，cos2x4)．（1）若m•n=1，求cos(x+π3)的值；（2）记函数f（x）=m•n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足

题目简介

已知向量m=(3sinx4，1)，n=(cosx4，cos2x4)．（1）若m•n=1，求cos(x+π3)的值；（2）记函数f（x）=m•n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足

题目详情

已知向量
m
=(
3
sin
x
4
，1)，
n
=(cos
x
4
，cos2
x
4
)．
（1）若
m
•
n
=1，求cos(x+
π
3
)的值；
（2）记函数f（x）=
m
•
n
，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
m
（
3
sinclass="stub"x
4
，1），
n
（cosclass="stub"x
4
，cos2class="stub"x
4
），
m
•
n
=1，
∴
3
sinclass="stub"x
4
cosclass="stub"x
4
+cos2class="stub"x
4
=1，…（2分）
即
3
2
sinclass="stub"x
2
+class="stub"1
2
cosclass="stub"x
2
+class="stub"1
2
=1，
∴sin（class="stub"x
2
+class="stub"π
6
）=class="stub"1
2
，…（4分）
则cos（x+class="stub"π
3
）=1-2sin2（class="stub"x
2
+class="stub"π
6
）=1-2•（class="stub"1
2
）2=class="stub"1
2
；…（7分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcocC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），…（9分）
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=class="stub"1
2
，即B=class="stub"π
3
，…（11分）
∴0＜A＜class="stub"2π
3
，
∴class="stub"π
6
＜class="stub"A
2
+class="stub"π
6
＜class="stub"π
2
，
∴class="stub"1
2
＜sin（class="stub"A
2
+class="stub"π
6
）＜1，…（12分）
又∵f（x）=
m
•
n
=sin（class="stub"x
2
+class="stub"π
6
）+class="stub"1
2
，
∴f（A）=sin（class="stub"A
2
+class="stub"π
6
）+class="stub"1
2
，
∴1＜f（A）＜class="stub"3
2
，
则函数f（A）的取值范围是（1，class="stub"3
2
）．…（14分）

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