在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3b=2asinB.(1)求角A的大小;(2)若a=6,求b+c的取值范围.-数学

题目简介

在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3b=2asinB.(1)求角A的大小;(2)若a=6,求b+c的取值范围.-数学

题目详情

在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
3
 b=2asinB

(1)求角A的大小;
(2)若a=6,求b+c的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:泸州二模

答案

(1)由
3
 b=2asinB
得:
3
sinB=2sinAsinB

又sinB≠0,
sinA=
3
2

由锐角△ABC得:A=60°;
(2)∵a=6,A=60°,设三角形外接圆的半径为R,
∴根据正弦定理得:class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
=2R,又class="stub"a
sinA
=4
3

∴2R=4
3

∴b=4
3
sinB,c=4
3
sinC,
又A=60°,∴B+C=120°,即C=120°-B,
b+c=4
3
(sinB+sinC)=4
3
(sinB+sin(120° -B))

=4
3
(sinB+sin120°cosB-cos120°sinB)
=4
3
(sinB+
3
2
cosB+class="stub"1
2
sinB)
=6
3
sinB+6cosB
=12(
3
2
sinB+class="stub"1
2
cosB)
=12sin(B+30°),
∵△ABC为锐角三角形,
∴B∈(30°,90°),
∴B+30°∈(60°,120°)
3
2
<sin(B+30° )≤1

b+c∈(6
3
 , 12 ]

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