首页 > 设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an-1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{4a2n-1}的前n项和为Tn，

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an-1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{4a2n-1}的前n项和为Tn，

题目简介

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an-1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{4a2n-1}的前n项和为Tn，

题目详情

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an-1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{
4
a2n
-1
}的前n项和为Tn，试证明不等式
1
2
≤Tn＜1成立．
题型：解答题难度：中档来源：日照二模

答案

（Ⅰ）∵（an-1）（an+3）=4Sn，当n≥2时，（an-1-1）（an-1+3）=4Sn-1，
两式相减，得
a2n
-
a2n-1
+2an-2an-1=4an，即（an+an-1）（an-an-1-2）=0，又an＞0，∴an-an-1=2．
当n=1时，（a1-1）（a1+3）=4a1，∴（a1+1）（a1-3）=0，又a1＞0，∴a1=3．
所以，数是以3为首项，2为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），a1=3，d=2，∴an=2n+1．
设bn=class="stub"4
an2-1
，n∈N*；∵an=2n+1，∴an2-1=4n(n+1)))
∴bn=class="stub"4
4n(n+1)
=class="stub"1
n(n+1)
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)=1-class="stub"1
n+1
＜1．
又∵Tn+1-Tn=class="stub"n+1
n+2
-class="stub"n
n+1
=class="stub"1
(n+2)(n+1)
＞0，∴Tn+1＞Tn＞Tn-1＞…＞T1=class="stub"1
2
，
综上所述：不等式class="stub"1
2
≤Tn＜1成立．

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