已知数列{an}满足a1=25,且对任意n∈N*,都有2an-2an+1=3anan+1.(1)求证:数列{1an}为等差数列;(2)试问数列{an}中任意连续两项的乘积ak•ak+1(k∈N*)是否

题目简介

已知数列{an}满足a1=25,且对任意n∈N*,都有2an-2an+1=3anan+1.(1)求证:数列{1an}为等差数列;(2)试问数列{an}中任意连续两项的乘积ak•ak+1(k∈N*)是否

题目详情

已知数列{an}满足a1=
2
5
,且对任意n∈N*,都有2an-2an+1=3anan+1
(1)求证:数列{
1
an
}
为等差数列;
(2)试问数列{an}中任意连续两项的乘积ak•ak+1(k∈N*)是否仍是{an}中的项?如果是,请指出是数列的第几项;如果不是,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:上海模拟

答案

(1)由2an-2an+1=3anan+1,可得class="stub"1
an+1
-class="stub"1
an
=class="stub"3
2
,(3分)
所以数列{class="stub"1
an
}
是以class="stub"5
2
为首项,公差为class="stub"3
2
的等差数列.                     (6分)
(2)由(1)可得数列{class="stub"1
an
}
的通项公式为class="stub"1
an
=class="stub"3n+2
2
,所以an=class="stub"2
3n+2
.   (8分)akak+1=class="stub"2
3k+2
•class="stub"2
3(k+1)+2
=class="stub"4
9k2+21k+10

=class="stub"2
9k2+21k+6
2
+2
=class="stub"2
3•
3k2+7k+2
2
+2
.                   (10分)
因为
3k2+7k+2
2
=k2+3k+1+
k(k+1)
2
,(11分)
当k∈N*时,
k(k+1)
2
一定是正整数,所以
3k2+7k+2
2
是正整数.     (13分)
所以ak•ak+1是数列{an}中的项,是第
3k2+7k+2
2
项.                 (14分)

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