首页 > f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=12．（Ⅰ）求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∉N)的值；（Ⅱ）数列{an}满足：an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+

f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=12．（Ⅰ）求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∉N)的值；（Ⅱ）数列{an}满足：an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+

题目简介

f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=12．（Ⅰ）求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∉N)的值；（Ⅱ）数列{an}满足：an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+

题目详情

f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
．
（Ⅰ）求f(
1
2
)和f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∉N)的值；
（Ⅱ）数列{an}满足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令bn=
4
4an-1
，Tn=
b21
+
b22
+
b23
+…+
b2n
，Sn=32-
16
n
．试比较Tn与Sn的大小．
题型：解答题难度：中档来源：梅州二模

答案

（Ⅰ）因为f(class="stub"1
2
) +f(1-class="stub"1
2
) =class="stub"1
2
，所以f(class="stub"1
2
) =class="stub"1
4

令x=class="stub"1
n
，得f(class="stub"1
n
) +f(1-class="stub"1
n
)  =class="stub"1
2
，即f(class="stub"1
n
) +f(class="stub"n-1
n
)=class="stub"1
2

（Ⅱ）an=f（0）+f(class="stub"1
n
)+f(class="stub"2
n
)+…+f(class="stub"n-1
n
)+f(1)
又an=f（1）+f（class="stub"n-1
n
）+…f（class="stub"1
n
）+f（0）
两式相加 2an=[f（0）+f（1）]+[f（class="stub"1
n
+class="stub"n-1
n
）]+[f（1）+f（0）]=class="stub"n+1
2

所以an=class="stub"n+1
4
，n∈N
又an+1-an=class="stub"n+1+1
4
-class="stub"n+1
4
=class="stub"1
4
．故数列{an}是等差数列．
（Ⅲ）bn=class="stub"4
4an-1
=class="stub"4
n
Tn=b12+b22++bn2=16(1+class="stub"1
22
+class="stub"1
32
+…class="stub"1
n2
)≤16[1+class="stub"1
1×2
+class="stub"1
2×3
+…class="stub"1
n(n-1)
]
=16[1+(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…(class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n
)]
=16(2-class="stub"1
n
)=32-class="stub"16
n
=Sn．所以Tn≤Sn

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