设等差数列{an}的各项均为整数，其公差d≠0，a5=6．（Ⅰ）若a2•a10＞0，求d的值；（Ⅱ）若a3=2，且a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n1＜n2＜…＜nt＜…）成等比数列，

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设等差数列{a_n}的各项均为整数，其公差d≠0，a₅=6．
（Ⅰ）若a₂•a₁₀＞0，求d的值；
（Ⅱ）若a₃=2，且a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n_t；
（Ⅲ）若a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n₁的取值集合．

题型：解答题难度：中档来源：西城区一模

答案

（Ⅰ）因为等差数列{an}的各项均为整数，所以d∈Z．（1分）
由a2•a10＞0，得（a5-3d）（a5+5d）＞0，即（3d-6）（5d+6）＜0，解得-class="stub"6

＜d＜2．
注意到d∈Z，且d≠0，所以d=-1，或d=1．（3分）
（Ⅱ）由a3=2，a5=6，得d=

a5-a3

5-3

=2，
从而an=a3+（n-3）d=2+（n-3）×2=2n-4，故ant=2nt-4．（5分）
由a3，a5，an1，an2，，ant，成等比数列，得此等比数列的公比为

=3，
从而ant=a3•3t+1=2•3t+1.
由2nt-4=2•3t+1，解得nt=3t+1+2，t=1，2，3，．（7分）
（Ⅲ）由d=

a5-a3

5-3

6-a3

，得an1=a3+(n1-3)d=a3+

(n1-3)(6-a3)

．
由a3，a5，an1，an2，，ant，成等比数列，得an1=

=class="stub"36

．
由a3+

(n1-3)(6-a3)

=class="stub"36

，化简整理得n1=5+class="stub"12

.（9分）
因为n1＞5，从而a3＞0，
又n1∈Z且d≠0，从而a3是12的非6的正约数，故a3=1，2，3，4，12．（10分）
①当a3=1或a3=3时，a4=

a3+a5

∉Z，
这与{an}的各项均为整数相矛盾，所以，a3≠1且a3≠3．（11分）
②当a3=4时，由

=a3•an1⇒an1=9，
但此时an2=

2n1

∉Z，这与{an}的各项均为整数相矛盾，所以，a3≠4．（12分）
③当a3=12时，同理可检验an2∉Z，所以，a3≠12．（13分）
当a3=2时，由（Ⅱ）知符合题意．
综上，n1的取值只能是n1=11，即n1的取值集合是{11}．（14分）

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设等差数列{an}的各项均为整数，其公差d≠0，a5=6．（Ⅰ）若a2•a10＞0，求d的值；（Ⅱ）若a3=2，且a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n1＜n2＜…＜nt＜…）成等比数列，

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