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在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）（1）求证：数列{an-2n}为等差数列；（2）设数列{bn}满足bn=log2（an+1-n），若(1+1b2)(1+1b3)(1+1

题目简介

在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）（1）求证：数列{an-2n}为等差数列；（2）设数列{bn}满足bn=log2（an+1-n），若(1+1b2)(1+1b3)(1+1

题目详情

在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）
（1）求证：数列{an-2n}为等差数列；
（2）设数列{bn}满足bn=log2（an+1-n），若(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)(1+
1
b4
)…(1+
1
bn
)＞k
n+1
对一切n∈N*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）（an+1-2n+1）-（an-2n）=an+1-an-2n=1
故数列{an-2n}为等差数列，且公差d=1．
an-2n=（a1-2）+（n-1）d=n-1，an=2n+n-1；
（2）由（1）可知an=2n+n-1，∴bn=log2（an+1-n）=n
设f（n）=(1+class="stub"1
b2
)(1+class="stub"1
b3
)(1+class="stub"1
b4
)…（1+class="stub"1
bn
）×class="stub"1
n+1
，（n≥2）
则f（n+1）=(1+class="stub"1
b2
)(1+class="stub"1
b3
)(1+class="stub"1
b4
)…（1+class="stub"1
bn
）×（1+class="stub"1
bn+1
）×class="stub"1
n+2
，
两式相除可得
f(n+1)
f(n)
=（1+class="stub"1
bn+1
）×
n+1
n+2
=
n+2
n+1
＞1，
则有f（n）＞f（n-1）＞f（n-2）＞…＞f（2）=
3
2
，
要使(1+class="stub"1
b2
)(1+class="stub"1
b3
)(1+class="stub"1
b4
)…(1+class="stub"1
bn
)＞k
n+1
对一切n∈N*且n≥2恒成立，
必有k＜
3
2
；
故k的取值范围是k＜
3
2
．

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