首页 > 已知数列{an}中，a2=2，前n项和为Sn，且Sn=n(an+1)2．（I）证明数列{an+1-an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（II）设bn=1(2an+1)(2an-1)，数列{

已知数列{an}中，a2=2，前n项和为Sn，且Sn=n(an+1)2．（I）证明数列{an+1-an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（II）设bn=1(2an+1)(2an-1)，数列{

题目简介

已知数列{an}中，a2=2，前n项和为Sn，且Sn=n(an+1)2．（I）证明数列{an+1-an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（II）设bn=1(2an+1)(2an-1)，数列{

题目详情

已知数列{an}中，a2=2，前n项和为Sn，且Sn=
n(an+1)
2
．
（I）证明数列{an+1-an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（II）设bn=
1
(2an+1)(2an-1)
，数列{bn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞
k
57
对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）由题意，当n=1时，a1=S1=
a1+1
2
，则a1=1．
a2=2，则a2-a1=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
n(an+1)
2
-
(n-1)(an-1+1)
2
=class="stub"1
2
[nan-(n-1)an-1+1]，an+1=class="stub"1
2
[(n+1)an+1-nan+1]，
则an+1-an=class="stub"1
2
[(n+1)an+1-2nan+(n-1)an-1]，
则（n-1）an+1-2（n-1）an+（n-1）an-1=0，
即an+1-2an+an-1=0，
即an+1-an=an-an-1．
则数列{an+1-an}是首项为1，公差为0的等差数列．…（6分）
从而an-an-1=1，则数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以，an=n（n∈N*）…（8分）
（II）bn=class="stub"1
(2an+1)(2an-1)
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)…（10分）
所以，Tn=b1+b2+…+bn=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]
=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1
．…（12分）
由于Tn+1-Tn=class="stub"n+1
2n+3
-class="stub"n
2n+1
=class="stub"1
(2n+3)(2n+1)
＞0．
因此Tn单调递增，
故Tn的最小值为T1=class="stub"1
3
…（14分）
令class="stub"1
3
＞class="stub"k
57
，得k＜19，
所以k的最大值为18．…（16分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网