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已知函数f（x）=x3x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)(n∈N*）（1）求证：数列{1an}是等差数列；（2）记Sn（x）=xa1+x2a2+…+xnan，求Sn（x）．-数学

题目简介

已知函数f（x）=x3x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)(n∈N*）（1）求证：数列{1an}是等差数列；（2）记Sn（x）=xa1+x2a2+…+xnan，求Sn（x）．-数学

题目详情

已知函数f（x）=
x
3x+1
，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)(n∈N*）
（1）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（2）记Sn（x）=
x
a1
+
x2
a2
+…+
xn
an
，求Sn（x）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由已知得：an+1=
an
3an+1
，class="stub"1
an+1
=
3an+1
an
=3+class="stub"1
an

∴class="stub"1
an+1
-class="stub"1
an
=3
∴{class="stub"1
an
}是首项为1，公差d=3的等差数列
（2）由（1）得class="stub"1
an
=1+（n-1）3=3n-2
∴Sn（x）=x+4x2+7x3+…+（3n-5）xn-1+（3n-2）xn
当x=1，Sn（1）=1+4+7+…+（3n-2）=class="stub"1+3n-2
2
•n=
n(3n-1)
2

当x≠1，0时，Sn（x）=x+4x2+7x3+…+（3n-5）xn-1+（3n-2）xn
xSn（x）=x2+4x3+7x4+…+（3n-5）xn+（3n-2）xn+1
（1-x）Sn（x）=x+（3x2+3x3+…+3xn）-（3n-2）xn+1
=x+
3x2(1-xn-1)
1-x
-(3n-2)xn+1
∴Sn(x)=
x-(3n-2)xn+1
1-x
+
3x2(1-xn-1)
(1-x)2
=
x(1-x)-(3n-2)xn+1(1-x)+3x2(1-xn-1)
(1-x)2

=
(3n-2)xn+2-(3n-2)xn+1+x-x2+3x2-3xn+1
(1-x)2

=
(3n-2)xn+2-(3n+1)xn+1+2x2+x
(1-x)2

当x=0时，Sn（0）=0也适合．
综上所述，x=1，Sn(1)=
n(3n-1)
2

x≠1，Sn（x）=
(3n-2)xn+2-(3n+1)xn+1+2x2+x
(1-x)2
．

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