首页 > 设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（

设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（

题目简介

设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（

题目详情

设F1，F2分别是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程
题型：解答题难度：中档来源：宁夏

答案

（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，
得|AB|=class="stub"4
3
al的方程为y=x+c，其中c=
a2-b2
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组
y=x+c
x2
a2
+
y2
b2
=1

化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2-b2）=0
则x1+x2=
-2a2c
a2+b2
，x1x2=
a2(c2-b2)
a2+b2

因为直线AB斜率为1，得class="stub"4
3
a=
4ab2
a2+b2
，故a2=2b2
所以E的离心率e=class="stub"c
a
=
a2-b2
a
=
2
2

（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知x0=
x1+x2
2
=
-a2c
a2+b2
=-class="stub"2
3
c，y0=x0+c=class="stub"c
3
．
由|PA|=|PB|，得kPN=-1，
即
y0+1
x0
=-1
得c=3，从而a=3
2
，b=3
故椭圆E的方程为
x2
18
+
y2
9
=1．

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