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已知数列{an}满足：a1=2t-3（t∈R且t≠±1），an+1=(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1an+2tn-1（n∈N*）．（1）当t=2时，求证：{2n-1an+1}是等差数列；（

题目简介

已知数列{an}满足：a1=2t-3（t∈R且t≠±1），an+1=(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1an+2tn-1（n∈N*）．（1）当t=2时，求证：{2n-1an+1}是等差数列；（

题目详情

已知数列{an}满足：a1=2t-3（t∈R且t≠±1），an+1=
(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1
an+2tn-1
（n∈N*）．
（1）当t=2时，求证：{
2n-1
an+1
}是等差数列；
（2）若t＞0，试比较an+1与an的大小；
（3）在（2）的条件下，已知函数f（x）=
x
x2+4
（x＞0），是否存在正整数t，使得对一切n∈N*不等式f（an+1）＜f（an）恒成立？若存在，求出t的最小值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：当t=2时，an+1=
(2n+2-3)an+2n+1-1
an+2n+1-1

∴an+1+1=
(2n+2-2)an+2n+2-2
an+2n+1-1

∴
2n+1-1
an+1+1
=
an+2n+1-1
2(an+1)

∴
2n+1-1
an+1+1
-
2n-1
an+1
=class="stub"1
2

∴{
2n-1
an+1
}是以class="stub"1
2
为公差的等差数列；
（2）∵an+1=
(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1
an+2tn-1
=
2(tn+1-1)(an+1)
an+2tn-1

∴
an+1+1
tn+1-1
=
2(an+1)
an+2tn-1
=
2•
an+1
tn-1
an+1
tn-1
+2

令
an+1
tn-1
=bn，则bn+1=
2bn
bn+2
，b1=
a1+1
t-1
=2
∴class="stub"1
bn-1
=class="stub"1
bn
+class="stub"1
2
，class="stub"1
b1
=class="stub"1
2

∴class="stub"1
bn
=class="stub"n
2

∴
an+1
tn-1
=class="stub"2
n

∴an=
2(tn-1)
n

∴an+1-an=
2(tn+1-1)
n+1
-
2(tn-1)
n
=
2(t-1)
n(n+1)
[n（1+t+…+tn）-（n+1）（1+t+…+tn-1）]
=
2(t-1)
n(n+1)
[（tn-1）+…+（tn-tn-1）]=
2(t-1)2
n(n+1)
[（1+t+…+tn-1）+t（1+t+…+tn-2）+…+tn-1]
显然t＞0（t≠1）时，an+1-an＞0，∴an+1＞an；
（3）∵f（an+1）-f（an）=
an+1
an+12+4
-
an
an2+4
=
(an+1-an)(an+1an-4)
(an+12+4)(an2+4
＜0，an+1＞an
∴an+1an-4＞0，{an}为递增数列
∴只需a1a2-4＞0
∴（2t-3）（t2-2）-4＞0
令f（t）=（2t-3）（t2-2）-4，则f′（t）=6t2-6t-8
∴t＞2时，f′（t）＞0，函数为增函数
∵f（2）=-2＜0，f（3）=17＞0
∴满足题意的最小正整数t存在，最小值为3．

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